Построение эмпирических линий регрессии

Переходим к решению задачи. Вначале запишем исходные данные в виде корреляционной таблицы:

Х Y		(5;9)	(9;13)	(13;17)	(17;21)	(21;25)	(25;29)
		7	11	15	19	23	27
(1;3)	2					2	7	9
(3;5)	4				4	4	3	11
(5;7)	6			6	3	1		10
(7;9)	8		1	2	1			4
(9;11)	10		6	2				8
(11;13)	12	2	1					3
(13;15)	14	5						5
		7	8	10	8	7	10	50

Строим корреляционное поле данных (рисунок 1)

Рис. 1

В клетке, стоящей на пересечении строки и столбца указаны следующие данные.

y*nxy		x*nxy
	nxy
x*y*nxy		ax*ay* nxy

Производим все необходимые вычисления в ниже приведенной таблице.

X Y			(5;9)			(9;13)			(13;17)			(17;21)			(21;25)			(25;29)			ny	x*nxy
			7			11			15			19			23			27
			-2			-1			0			1			2			3
(1;3)	2	-1													4		46	14		189	9	235	26,11
																2			7
															92		-4	378		-21
(3;5)	4	0										16		76	16		92	12		81	11	249	22,64
													4			4			3
												304		0	368		0	324		0
(5;7)	6	1							36		90	18		57	6		23				10	170	17
										6			3			1
									540		0	342		3	138		2
(7;9)	8	2				8		11	16		30	8		19							4	60	15
							1			2			1
						88		-2	240		0	152		2
(9;11)	10	3				60		66	20		30										8	96	12
							6			2
						660		-18	300		0
(11;13)	12	4	24		14	12		11													3	25	8,333
				2			1
			168		-16	132		-4
(13;15)	14	5	70		35																5	35	7
				5
			490		-50
nx			7			8			10			8			7			10			50
			94			80			72			42			26			26
			13,4286			10			7,2			5,25			3,7143			2,6			-
			658			880			1080			798			598			702			4716
			-66			-24			0			5			-2			-21			-108
			307,5657			81,92			1,6			19,22			66,6514			176,4			653,3571
			7			11			15			19			23			27
nx			7			8			10			8			7			10			50
			49			88			150			152			161			270			870
			343			968			2250			2888			3703			7290			17442
			2401			10648			33750			54782			85169			196830			383670
			16807			117128			506250			1042568			1958887			5314410			8956050
			94			80			72			42			26			26			340
			658			880			1080			798			598			702			4716
			4606			9680			16200			15162			13754			18954			78356
			2,5974			2,3026			1,9741			1,6582			1,3122			0,9555			-
			18,1817			18,4207			19,7408			13,2658			9,1853			9,5551			88,3494
			127,2718			202,6275			296,1122			252,0507			211,2620			257,9881			1347,31

 

Тогда

у	ny
2	9	26,1111	18	36	72	144	235	470	940	3,2624	29,3612	58,7225
4	11	22,6364	44	186	704	2816	249	996	3984	3,1196	34,3151	137,2605
6	10	17	60	360	2160	12960	170	1020	6120	2,8332	28,3321	169,9928
8	4	15	32	256	2048	16384	60	480	3840	2,7081	10,8322	86,6576
10	8	12	80	800	8000	80000	96	960	9600	2,4849	19,8793	198,7925
12	3	8,333	36	432	5184	62208	25	300	3600	2,1203	6,3608	76,3295
14	5	7	70	980	13720	192080	35	490	6860	1,9459	9,7296	136,2137
	50	-	340	3040	31888	366592	870	4716	34944	-	138,8103	863,9692

 

Строим эмпирические линии (рисунок 11; на нем сплошной линией изображена эмпирическая линия регрессии у на х, а пунктирной – эмпирическая линия регрессии х на у) регрессии и делаем первоначальные выводы о форме корреляционной зависимости.

Рис. 2

Так как с ростом значения х значения у почти монотонно убывают, то скорее всего имеет место линейная обратная корреляционная зависимость.

Определим величину коэффициента линейной корреляции. Среднее значение признаков найдем согласно определению, а дисперсии рассчитаем по формуле разностей. Имеем:

;

;

 

;

 

;

;

;

 

;

 

.

 

Среднее значение произведения

.

 

Тогда числитель коэффициента линейной корреляции, рассчитанный первым способом, равен:

.

 

Найдем величину μ методом моментов. Используя соответствующие определения и расчетную таблицу, получаем:

.

 

Итак, коэффициент линейной корреляции равен:

,

 

что говорит о том, что рассматриваемая зависимость является линейной обратной.

Переходим к вычислению корреляционного отношения. Межгрупповая дисперсия равна

,

отсюда

;

.

 

Итак, корреляционное отношение равно

.

 

Найденное значение говорит о тесной корреляционной зависимости между рассматриваемыми признаками.

Проверим с вероятностью 0,95 гипотезу о статистической значимости эмпирических данных. Наблюдаемое значение критерия Стьюдента равно.

.

 

Критическое значение находим по таблицам, имеющимся в статистических справочниках для уровня значимости α = 1- 0,95=0,05 и числа степеней свободы ν = 50 – 2= 48:

.

 

Имеем:

17,0664>2,02,

следовательно гипотеза о статистической значимости эмпирических данных принимается с указанной вероятностью.

Находим параметры регрессионных моделей (см. таблицу 10). Результаты вычислений представим в таблицах:

Линейная корреляционная зависимость
Система нормальных уравнений	у на х	Система
		Решение системы	,
		Уравнение
	х на у	Система
		Решение системы	, ,
		Уравнение
Упрощенный способ	у на х	ρ
		Уравнение	,
	х на у	ρ
		Уравнение	,

Следовательно:

Параболическая корреляционная зависимость
у на х	Система
	Решение системы	, ,
	Уравнение
х на у	Система
	Решение системы	, ,
	Уравнение
Показательная корреляционная зависимость
у на х	Система
	Решение системы	, , ,
	Уравнение
х на у	Система
	Решение системы	, , ,
	Уравнение

По каждой из полученных моделей находим величину средней ошибки аппроксимации и индекса детерминации (расчеты приведены в таблице 1). Имеем: для линейной модели

, или 80,12%;

для параболической модели

, или 79,95%;

для показательной модели

, или 79,06%.

 

Видим, что одновременно минимум средней ошибки аппроксимации и максимум индекса детерминации соответствует линейной регрессионной модели. Следовательно, она признается наиболее точной.

Графики линейной зависимости приведены на рисунке 12, параболической – на рисунке 13, а показательной – на рисунке 14. На них сплошной чертой изображены линии регрессии у на х, а пунктирной – х на у.

Строим прогноз признаков. Имеем: при стоимости основных производственных фондов 2,5 млн. руб., затраты на капитальный ремонт составят

(%).

Если затраты на капитальный ремонт составляют 0,52% от ОПФ, то стоимость основных производственных фондов должна составлять

(млн. руб.)