Основным содержанием метода аналитического выравнивания рядов динамики является расчет общей тенденции развития как функции времени: где

 

- уровни динамического ряда, вычисленные по соответствующему аналитическому уравнению на момент времени t. Определение теоретических (расчетных) уровней

 

производится на основе так называемой адекватной математической модели, которая наилучшим образом отображает основную тенденцию развития ряда динамики.

В данной работе с целью выявления тенденции развития используются следующие модели:

· линейная функция – прямая

;

 

· степенная функция – кривая второго порядка (парабола)

.

 

Расчет параметров функции производится методом наименьших квадратов (МНК), в котором в качестве решения принимается точка минимума суммы квадратов отклонений между теоретическим и эмпирическим уровнями:

,

где - выровненные (расчетные) уровни;

- фактические уровни.

1. Линейная функция:

 

Выравнивание по прямой используется в тех случаях, когда абсолютные приросты практически постоянны, т.е. когда уровни изменяются в арифметической прогрессии (или близко к ней).

Нормальные уравнения МНК для линейного тренда имеют вид:

, ;

 

где - уровни исходного ряда динамики;

- номера периодов или моментов времени (1,2,3n);

n - число уровней ряда;

а₀, а₁– константы уравнений.

 

 

2.Степенная функция:

Выравнивание по степенной функции (параболе второго порядка) используется в случае, если ряды динамики изменяются с постоянными цепными темпами прироста.

, , ,

 

 

где - уровни исходного ряда динамики;

ti- номера периодов или моментов времени (1,2,3n);

n - число уровней ряда;

а₀, а₁, а₂ – константы уравнений.

1)2)

3)4)

 

5)

 

В данной работе для упрощения расчетов в качестве используются значения, полученные при выравнивании ряда по 3- месячным интервалам.

Для удобства решения систем уравнения используется массив обработанных данных, представленных в виде таблицы табл.2.

Табл. 2 Расчет параметров уравнений прямой и параболы

Рассм. период времени, кварталы	yi	ti	yi*ti	ti2	yi*ti2	ti4	y'tлин	y'tпар
1995
1	803,000	-6	-4818,00	36	-173448,00	1296	922,85	-654,18
2	883,500	-5	-4417,50	25	-110437,50	625	927,84	183,49
3	990,667	-4	-3962,67	16	-63402,69	256	932,84	869,76
4	1021,833	-3	-3065,50	9	-27589,49	81	937,84	1404,64
1996
1	1004,917	-2	-2009,83	4	-8039,34	16	942,83	1788,12
2	949,833	-1	-949,83	1	-949,83	1	947,83	2020,21
3	980,167	1	980,17	1	980,17	1	957,82	2030,20
4	988,667	2	1977,33	4	7909,34	16	962,82	1808,11
1997
1	944,333	3	2833,00	9	25496,99	81	967,82	1434,62
2	946,000	4	3784,00	16	60544,00	256	972,82	909,74
3	967,667	5	4838,34	25	120958,38	625	977,81	233,46
4	953,333	6	5720,00	36	205919,93	1296	982,81	-594,21
сумма	11433,92	0	909,50	182	37941,95	4550	11433,92	11433,93

константы
a0лин	952,827
a0параб	2100,899
a1лин/параб	4,997
a2параб	-75,697

Для анализа адекватности полученных зависимостей используется критерий - стандартизированная ошибка аппроксимации - :

,

 

где - теоретические уровни;

- экспериментальные уровни;

n – число уровней ряда.

Стандартная ошибка аппроксимации рассчитывается:

· для линейного тренда:

· для параболы второго порядка:

 

Вывод: за наиболее адекватную принимается линейная функция, т.к. её стандартизированная ошибка аппроксимации минимальная.

Матрица расчетных значений для определения приведены в таблице 3

Табл. 3 Матрица расчётных значений адекватности моделей

Рас. период времени	ti	yi	Теор.ур.по иссл.моделям		Отклонения теоретических уровней-Yti от фактических -Yi
			Линей- ная	Парабо- лич.	линейная		параболическая
					yti-yi	(yti-yi)2	yti -yi	(yti -yi)2
1995
1	-6	803,000	922,85	-654,18	119,85	14362,82	-1457,18	2123358,98
2	-5	883,500	927,84	183,49	44,34	1966,21	-700,01	490015,40
3	-4	990,667	932,84	869,76	-57,83	3344,08	-120,91	14618,74
4	-3	1021,833	937,84	1404,64	-84,00	7055,50	382,80	146537,37
1996
1	-2	1004,917	942,83	1788,12	-62,08	3854,42	783,20	613402,24
2	-1	949,833	947,83	2020,21	-2,00	4,01	1070,37	1145696,22
3	1	980,167	957,82	2030,20	-22,34	499,21	1050,03	1102567,20
4	2	988,667	962,82	1808,11	-25,85	668,02	819,44	671478,64
1997
1	3	944,333	967,82	1434,62	23,49	551,55	490,28	240378,40
2	4	946,000	972,82	909,74	26,82	719,04	-36,27	1315,15
3	5	967,667	977,81	233,46	10,15	102,92	-734,21	539061,39
4	6	953,333	982,81	-594,21	29,48	868,83	-1547,54	2394892,43
сумма		11433,92	11433,92	11433,93		33996,62		9483322,16

После выбора наиболее адекватной модели необходимо сделать прогноз на конец ближайшего года. При составлении прогнозов оперируют интервальной оценкой, определяя так называемые доверительные интервалы прогноза. Величина доверительного интервала определяется в общем виде следующим образом:

,

 

где - среднее квадратическое отклонение от тренда;

- табличное значение t-критерия Стьюдента при уровне значимости a.

= 4,781(k= 9 , a= 0,1) .

Величина определяется по формуле

 

,

 

где y_i и - соответственно фактические и расчетные значения уровней динамического ряда;

n – число уровней ряда;

m – количество параметров в уравнении тренда ( для уравнения прямой m=2, для уравнения параболы 2-го порядка m=3).

 

 

Вывод: на основании полученных расчетов мы можем утверждать, что с вероятностью 0,9 товарооборот фирмы, производящей телевизоры, на конец 1998 года составит 1002,79780,472 млн. руб., или, другими словами, вероятность того, что товарооборот рассматриваемой фирмы будет находиться в пределах от 922,325 млн. руб. до 1083,269млн. руб., 90%.

Анализ полученных результатов

Мы определили, что товарооборот фирмы на протяжении трех лет имел тенденцию к постепенному стабилизированию, и мы можем с вероятностью 90% утверждать, что товарооборот фирмы к концу 1998 года составит 1002,79780,472 млн. руб. В связи с этим можно порекомендовать фирме, если она не удовлетворена полученными результатами, изменить существующую политику фирмы, направить больше сил и средств на стимулирование покупательского спроса (повышение качества продукции, более эффективная реклама, поддержание марки, имиджа, престижа фирмы, снижение цены, дополнительные условия, облегчающие покупку потребителя, сервисное обслуживание и т.д.). Изучение сезонных колебаний мы рассмотрим здесь.