1. Нахождение приближенного решения системы нелинейных уравнений методом Ньютона, выполнив три шага вручную.

Пример

За начальное приближение примем x₀ = y₀ = z₀ =0,5.

Полагая:

х⁽⁰⁾ =, f (х) =,

имеем:

f (х) =

Отсюда

f ( х⁽⁰⁾ ) =

Составим матрицу Якоби

W(x) =

Имеем

W ( х⁽⁰⁾ ) = , причем  = det W ( х⁽⁰⁾ ) =

Следовательно, матрица W ( х⁽⁰⁾ ) – неособенная. Составим обратную ей матрицу (пример смотри ниже).

W ^-1 ( х⁽⁰⁾ ) =

По формуле получаем первое приближение

х⁽¹⁾ = x⁽⁰⁾ – W ^-1(x⁽⁰⁾ ) f (x⁽⁰⁾ ) =

= - = + = .

Аналогично находятся дальнейшие приближения. Результаты вычислений приведены в таблице.

Таблица Последовательные приближения корней

i	x	y	z
0	0,5	0,5	0,5
1	0,875	0,5	0,375
2	0,78981	0,49662	0,36993
3	0,78521	0,49662	0,36992

Останавливаясь на приближении x⁽³⁾ , будем иметь:

x = 0,7852; y = 0,4966; z =0,3699.

Пример. Найти обратную матрицу для и выполнить проверку.

Решение. Для квадратных матриц второго и третьего порядка формула вычисления определителя разложением по 1-ой строке имеет вид:

det = = a₁₁ a₂₂ - a₁₂ a₂₁,

=-+.

Вычисляем следовательно, обратная матрица существует.

Найдем присоединенную матрицу A^*. Для этого вычислим все миноры второго порядка матрицы A по формуле .

Составим A^*

и найдем по формуле обратную матрицу

.

Проверка.

.

2. Нахождение численного решения систем нелинейных уравнений методом Ньютона.

Шаг 1.

В ячейку А1 ввести Лабораторная работа

В ячейку А2 - Тема Численное решение систем нелинейных уравнений

В ячейку А3 - Выполнил ….

В ячейку А4 – Дата

Шаг 2.

	A	B	C	D	E	F
6	Система			Якобиан	(матрица	частных производных)
7		x^2+y^2+z^2=1		2x	2y	2z
8		2x^2+y^2-4z=0		4x	2y	-4
9		3x^2-4y+z^2=0		6x	-4	2z

Шаг 3.

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J
12	Начало прибли- жения	F(X0)	F'(X0)			1/F'(X0)			F(X0)/ F'(X0)	Точность
13	0,5	=A13*A13+A14*A14+A15*A15-1	=2*A13	=2*A14	=2*A15
14	0,5	=2*A13*A13+A14*A14+4*A15	=4*A13	=2*A14	=-4
15	0,5	=3*A13*A13-4*A14+A15*A15	=6*A13	=-4	=2*A15

Шаг 4.Обращение якобиана ( функция МОБР)

В яч F13 с помощью Мастера Функций обратитесь к функции МОБР и выделите диапазон ячеек C13:E15

Выделите диапазон ячеек F13:H15

Поместите указатель мыши в строку формул

Одновременно нажмите CTRL+SHIFT+ENTER

Шаг 5.Умножение матриц (функция МУМНОЖ)

В яч I13 с помощью Мастера функций обратитесь к функции МУМНОЖ

В диалоговом окне " шага МФ введите F13:H15 и B13:B15

Выделите диапазон ячеек I13:I15

Поместите указатель мыши в строку формул

Одновременно нажмите CTRL+SHIFT+ENTER

Шаг 6.

В ячейку A17 ввести формулу =A13-I13

В ячейку A18 - =A14-I14

В ячейку A19 - = А15-I15

Шаг 7.

Выделите диапазон ячеек B13:I15 , скопируйте его в диапазон ячеек B17:I19

Шаг 8.

В ячейку J17 введите формулу =ABS(A13-A17)

В ячейку J18 введите формулу =ABS(A14-A18)

В ячейку J19 введите формулу =ABS(A15-A19)

Шаг 9.

Перед 17 строкой добавьте пустую и в яч А17 введите текст 1 итерация

Шаг 10.

Выделите диапазон ячеек A17:J20 и скопируйте его в диапазон ячеек A22:J25. Это будет вторая итерация.

Шаг 11.

Расчеты (копирование ячеек) повторять до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность.

Контрольная работа
тема	Численное решение систем нелинейных уравнений
Дата
система			Якобиан	матрица	частных произ-водных
	x*x+y*y+z*z=1		2x	2y	2z
	2*x*x+y*y-4*z=0		4x	2y	-4
	3*x*x-4*y+z*z=0		6x	-4	2z
нач. приб.	F(x0)	F'(x0)			1/F'(x0)			F(x0)/ F'(x0)	точ- ность
0,5	-0,25	1	1	1	0,375	0,125	0,125	-0,375
0,5	-1,25	2	1	-4	0,35	0,05	-0,15	2,78E-17
0,5	-1	3	-4	1	0,275	-0,175	0,025	0,125
1 итерация
0,875	0,15625	1,75	1	0,75	0,235521	0,057915	0,07335	0,085183	0,375
0,5	0,28125	3,5	1	-4	0,364865	0,040541	-0,1486	0,003378	0
0,375	0,4375	5,25	-4	0,75	0,297297	-0,18919	0,02702	0,005068	0,125
2 итерация
0,789817	0,007293	1,5796	0,993243	0,739865	0,262763	0,063591	0,08103	0,004606	0,085183
0,496622	0,014524	3,1592	0,993243	-4	0,366523	0,040235	-0,149	1,02E-05	0,003378
0,369932	0,021794	4,7389	-4	0,739865	0,298546	-0,18978	0,02700	9,6E-06	0,005068
3 итерация
0,78521	2,12E-05	1,5704	0,993223	0,739846	0,264309	0,063964	0,08151	1,35E-05	0,004606
0,496611	4,24E-05	3,1408	0,993223	-4	0,366527	0,040234	-0,149	6,26E-11	1,02E-05
0,369923	6,37E-05	4,7112	-4	0,739846	0,298549	-0,18978	0,02701	4,14E-11	9,6E-06
4 итерация
0,785197	1,83E-10	1,5703	0,993223	0,739846	0,264314	0,063965	0,08151	1,16E-10	1,35E-05
0,496611	3,65E-10	3,1407	0,993223	-4	0,366527	0,040234	-0,149	8,93E-18	6,26E-11
0,369923	5,48E-10	4,7111	-4	0,739846	0,298549	-0,18978	0,02701	-4,2E-17	4,14E-11
5 итерация
0,785197	0	1,5703	0,993223	0,739846	0,264314	0,063965	0,08151	2,26E-17	1,16E-10
0,496611	0	3,1407	0,993223	-4	0,366527	0,040234	-0,149	-4,1E-17	0
0,369923	2,78E-16	4,7111	-4	0,739846	0,298549	-0,18978	0,02701	7,5E-18	5,55E-17
6 итерация
0,785197	0	1,5703	0,993223	0,739846	0,264314	0,063965	0,08151	0	0
0,496611	0	3,1407	0,993223	-4	0,366527	0,040234	-0,149	0	5,55E-17
0,369923	0	4,7111	-4	0,739846	0,298549	-0,18978	0,02701	0	0
7 итерация
0,785197	0	1,5703	0,993223	0,739846	0,264314	0,063965	0,08151	0	0
0,496611	0	3,1407	0,993223	-4	0,366527	0,040234	-0,149	0	0
0,369923	0	4,7111	-4	0,739846	0,298549	-0,18978	0,02701	0	0
решение системы		x	0,785197
		y	0,496611
		z	0,369923